C4 · 出版卷 14

Inversion and Non-uniqueness

Forward model、objective function、regularisation、equivalence

学习目标

学习者应能区分正演与反问题，使用可辩护误差模型构建数据失配项，解释边界、正则化和先验约束，展示等效模型，检查残差与敏感度，并把反演结果表达为一组数据相容解释，而不是恢复出的真值。

反演的价值在于明确假设并检验物性模型能否重现观测。若把模型网格误当分辨率、把低目标函数误当地质正确，或只展示一个正则化解而不提供备选，反演就会误导。

正演模型与反问题

正演问题由物性模型 \mathbf m 和几何 \mathbf g 预测 \mathbf d=F(\mathbf m,\mathbf g)；反问题询问哪些模型与实测数据、误差和先验信息相容。待估对象可以是连续物性、边界、层参数、源位置或少量离散假设。

反演前应以解析案例、互易关系、网格加密和单元测试验证正演代码，必要时包含实际地形和发射—接收几何。若正演误差未进入数据误差模型，反演会用虚假物性结构吸收它。

参数化本身是一个假设。单元大小、层界、地质体形状和坐标轴决定哪些模型可以存在。细单元不保证高分辨率，反而可能增加等效性。参数化应能表达待检假设，却不能暗示每个参数均独立受约束。

数据失配与误差模型

常用加权失配为

$\Phi_d=(\mathbf d-F(\mathbf m))^TC_d^{-1}(\mathbf d-F(\mathbf m)),$

其中 C_d 表示不确定度及相关性。独立同方差只是特殊情形，不是默认真值。测线偏差、共同校准、导航与滤波数据都会产生相关性，忽略它们会重复计算证据。

当仍存在建模或系统误差时，误差下限可防止数值很小且看似精确的数据支配反演。它必须由重复、残差结构和正演精度论证，不能只为方便收敛而调整。应检查归一化残差在测线、分量、时间、频率、时间门和位置上的分布。

欠拟合可能表示缺少结构或正则化过强，拟合到可信噪声以下则可能追随误差。目标失配和迭代次数都不能证明地质有效性；残差图案常比一个总目标函数更有诊断意义。

正则化、边界与先验信息

由于多个模型可拟合数据，反演加入小幅值、平滑、紧凑、稀疏边界或接近参考模型等偏好。一般目标函数为

$\Phi(\mathbf m)=\Phi_d(\mathbf m)+\lambda\Phi_m(\mathbf m),$

其中 \Phi_m 表达偏好，\lambda 平衡拟合与正则化。所选模型是数据与该偏好共同作用的结果。

边界可表达物性合理范围，参考模型可表达已知覆盖或背景。结构耦合可鼓励不同物性共享边界，但地质过程不一定使它们重合。硬约束必须有独立证据，否则会强制生成有说服力却错误的结果。

应测试正则化路径和起始模型；当决策依赖形状时，比较平滑、紧凑与界面参数化。必须记录优化算法、停止条件、边界、变换、网格、起始和参考模型、权重以及适用时的随机种子。

等效性、分辨率与不确定度

非唯一性可来自观测太少、物理核宽广、参数补偿、带宽有限、采集空缺和噪声。位场尤其非唯一，电法、电磁和地震反演也存在等效结构。确定性求解器返回一个数组，并不会消除这一事实。

可根据问题规模评价敏感度、可计算时的分辨率矩阵、扰动恢复、模型集合、后验分布或剖面似然，但每种方法都有假设。在同一正则化下恢复合成棋盘格，并不能证明意外的真实地质体也可分辨。

应把稳健特征与依赖模型的细节分开表达。例如，数据可能要求某条走廊存在额外电导，却不能分开深度与厚度。至少提供两个实质不同且同样可接受的模型，并提出能区分它们的观测。

合成算例

设一项合成数据满足线性关系

$d=m_1+2m_2=10.$

模型 (m_1,m_2)=(10,0)、(6,2) 和 (2,4) 均完全拟合。即使两个参数都非负，从 (10,0) 到 (0,5) 的线段上仍有无穷多个解，单一数据不能确定唯一模型。

若在该约束下最小化 m_1^2+m_2^2，会选出最小范数解。代入 m_1=10-2m_2 后最小化 (10-2m_2)^2+m_2^2，得到 m_2=4、m_1=2。这来自范数偏好，不是数据中的额外信息。若增加独立观测 2m_1-m_2=0，才会从模型族中选出 (2,4)。

反演审计流程

明确决策、假设及带单位的模型参数。
验证正演物理、网格、几何与边界条件。
建立包含系统和相关分量的不确定度模型。
声明参数化、边界、起始与参考模型。
定义正则化并说明其先验依据。
按采集维度检查归一化残差。
改变误差下限、正则化、网格和起始模型。
生成实质不同且与数据相容的模型。
报告稳健特征、未解决补偿关系与区分测试。

练习与复习

在非负约束下找出 2m_1+m_2=12 的三个解。
解释更小模型单元为何不保证更高分辨率。
举出测线、电磁和地震数据中的相关误差。
比较平滑与紧凑偏好对薄体的影响。
设计第二项观测以打破深度—物性差异补偿。

复习问题：正演是否验证？残差采用何种不确定度权重？哪些结构来自正则化？残差是否有规律？哪些备选模型仍拟合？报告特征究竟由数据还是偏好要求？

来源

位场反演中的非唯一性，提供等效模型的原始论证。
位场数据自约束反演，讨论模型约束与歧义。
电磁反演中的非唯一性，提供等效电导结构的原始案例。
地震波形反演的非唯一性，展示带宽与起始结构依赖。