B3 · 出版卷 8

网格变形与 Strain Ellipse

Pure shear、simple shear、rotation、finite strain

学习目标

完成本课后，学习者应能用变形梯度映射物质点；区分平移、刚体旋转和应变；比较纯剪切与简单剪切；从有限应变张量求取主伸长；解释应变椭圆和应变椭球；说明最终形状为何不能唯一保存变形路径。

一组原本近圆形的砾石现在呈椭圆状，长轴形成面理，小尾部相对基质发生旋转。岩石经历了共轴压扁、简单剪切、主轴改变的多次增量、各向异性砾石的刚体旋转、压溶，还是特定砾石选择性保存？

最终椭圆只约束有限状态，并不会自动给出变形“电影”。不同顺序的纯剪切、简单剪切和旋转可以产生相似轴比与方向。原始物体未必为圆形，可能比基质更刚，也可能改变体积。变形网格的优势是把起始几何和坐标转换明确公开。

对于局部均一变形，参照状态中的物质矢量 d\mathbf{X} 映射为


d\mathbf{x}=\mathbf{F}\,d\mathbf{X},

其中 \mathbf{F} 为变形梯度，J=\det\mathbf{F} 是局部体积比。右柯西—格林张量 \mathbf{C}=\mathbf{F}^{T}\mathbf{F} 去除刚体旋转，描述相对于参照坐标的伸长；其特征值平方根是主伸长。

保面积平面纯剪切可写为


\mathbf{F}_{p}=
\begin{bmatrix}
\lambda & 0\\
0 & 1/\lambda
\end{bmatrix}.

主方向保持不变，没有整体刚体旋转。平面简单剪切可写为


\mathbf{F}_{s}=
\begin{bmatrix}
1 & \gamma\\
0 & 1
\end{bmatrix},

其中 \gamma 为工程剪应变。简单剪切为非共轴流动，物质线和瞬时伸长方向会随变形旋转。

单位圆被映射为应变椭圆；三维单位球被映射为主伸长 X\geq Y\geq Z 的椭球。可用 X/Y 与 Y/Z 描述形状，但椭球本身不提供涡度、增量顺序或时间。矩阵乘法与顺序有关，旋转部分也可能不同，因此同一有限椭球可以由多条路径形成。

天然变形常为非均一变形，\mathbf{F} 随空间改变，应变梯度会弯曲线条和原来平行的面。一个点的应变椭圆不能无条件外推越过褶皱枢纽、剪切带边界或岩性界面。

可用标志包括还原斑、鲕粒、化石、砾石、枕状体、气孔、矿物集合体、压力影、石香肠和相交线组。每种方法都需要可靠的原始几何或总体假设。标志体与基质必须在目标尺度上具有足够相容的变形；刚性颗粒会旋转并扰动流场，可溶标志会改变体积，能干砾石记录的应变可能低于基质。

应尽量测量三维方向。椭球的二维切面随切面方向而变；某个切面上的最大椭圆未必是 X–Z 面。定向连续切片、层析成像或相交表面可以降低多解性。

基于中心距离、物体形状、线长变化或分布对称性的方法具有不同假设。应保留原始轮廓和坐标，记录排除对象，用重复数字化或自助抽样评估不确定性，并检验原始形状假设。视觉上漂亮的拟合椭圆可能掩盖混合总体和强烈空间梯度。

若可以识别多个变形增量，应按顺序相乘变形梯度，而不能把各增量轴比直接相加。相邻区域若共享连续边界，其位移场还应满足相容性；相互矛盾的局部椭圆可能表示测量偏差，也可能要求断层、不连续面或强烈应变梯度。极分解可以把有限变形写成旋转与纯伸长的组合，但这种数学分解仍不是唯一地质过程序列。

设简单剪切 \gamma=0.8：


\mathbf{F}=
\begin{bmatrix}
1 & 0.8\\
0 & 1
\end{bmatrix}.

由于 \det\mathbf{F}=1，该模型保面积。\mathbf{F}\mathbf{F}^{T} 的特征值约为 2.18 和 0.46，主伸长约为 1.48 和 0.68，有限轴比约为 2.18；现今构形中长轴与剪切方向夹角约 34°。

再考虑 \lambda=1.48 的保面积纯剪切。它给出相同主伸长和轴比，但主轴保持与坐标轴平行。加入适当刚体旋转后，两种最终椭圆可以完全相同。因此，仅凭形状不能区分两种历史。

增加一项独立证据：一组切过面理、在定向切面上具有一致错动方向的剪切带。它可以支持非共轴剪切，但前提是这些带与所测应变同期且未被再活化。应变估计与运动学推断仍是两个不同结果。

长轴定向未必就是最大有限伸长方向。物体可能旋转到稳定方向，在变形时生长，一侧发生溶解，或者本来就是定向的。劈理可垂直于缩短方向形成，却不记录全部有限应变。矿物线理也可能只是交线。

二维视应变通常低估或误定三维应变。优先选择变形强烈、保存良好或易露出的标志会产生偏差。若没有检验压溶、脉体、孔隙损失或反应，就不能默认体积恒定。

不能把所有压扁称为纯剪切，也不能把所有不对称组构称为简单剪切。二者是运动学端元；天然构造带可以混合两种分量，随时间改变，并在不同层间分配变形。

画一个 10×10 参照网格，用保面积纯剪切、简单剪切以及简单剪切后旋转 25°的三个矩阵变换全部节点，同时变换单位圆。计算行列式、主伸长和椭圆方向。交换旋转与剪切顺序，比较结果。

随后数字化至少 25 个合成或实测标志轮廓，分别为整体和两个空间子域拟合椭圆。报告切面方向、对象筛选和原始形状假设如何影响结果，并指出把有限应变与变形机制连接起来还需要哪项观测。