B3 · 出版卷 8

构造测量、Stereonet 与统计

Orientation datasets、clusters、girdles、uncertainty

学习目标

完成本课后，学习者应能按明确约定记录面和线；把产状转换为单位矢量；为任务选择等面积或等角赤平投影；把面绘为大圆、法向绘为极点；识别点群与环带；针对合适总体计算方向平均和离散度；报告测量误差、轴向多解性和空间采样偏差。

从野外问题开始

40 个层理产状在赤平投影上形成明显环带，似乎给出褶皱轴。然而多数测量来自同一条公路切坡，褶皱两翼采样不均。该环带代表真实褶皱几何、单翼内弯曲层理、多个变形域混合，还是采样偏差？

赤平投影是一种投影工具，不是解释机器。它把三维方向转换到二维圆内；统计计算则假设一种总体模型和采样设计。在拟合平均方向或环带前，必须检查位置、构造域、测量类型、极性和不确定性。

核心过程模型

面可用走向/倾角或倾向/倾角记录；线可用倾向/倾伏记录，也可表示为在具名面内从声明走向量取的侧伏角。每条数据应转换为声明的东—北—上或等效坐标中的三维单位矢量；保留矢量可以避免不同记法之间的多解性。

在下半球赤平投影中，面表示为大圆弧，法向表示为极点，线表示为点。等角投影保持局部角度和圆形；等面积投影保持面积，通常更适合等密度线和总体分析。任何一种投影都不能同时保持球面上的全部距离和面积。

方向数据具有圆周拓扑，359°与 1°相邻。对于有方向的线理，把单位矢量 \mathbf{x}_i 相加得合矢量 \mathbf{R}；平均方向为 \mathbf{R}/|\mathbf{R}|，平均合矢量长度为 \bar R=|\mathbf{R}|/N。适用模型下，接近 1 表示集中。若 \mathbf{x} 与 -\mathbf{x} 等价，则属于轴向数据，需要方向张量或适合轴向的分布，不能使用普通有向平均。

极点点群可代表近似平行面；极点环带可代表围绕共同褶皱轴分布的面，其最佳拟合环带的极点估计近圆柱状褶皱轴。多个点群、小圆或弥散图案可能代表多个域、锥状旋转、混合总体或噪声。

统计置信区间只反映给定模型下的抽样变化；若未显式建模，它不包括系统仪器偏差、错误分域、露头偏差和极性错误。

证据与测量

每个测站应保留坐标、高程、特征类型、产状、约定、地层朝向或极性、测量不确定性、尺度和质量说明。校准罗盘和倾角仪，记录磁偏角，区分磁北、网格北和真北。磁性岩石或金属设施附近应采用替代方法并标记受影响数据。

重复测量可量化操作者差异和表面起伏。粗糙或弯曲层面的天然离散度可能远高于仪器精度，应保存多个局部产状，而不是给出虚假的高精度平均。数字露头或遥感测量需要报告点密度、拟合面片大小、残差和配准误差。

等密度处理前先按位置和构造域绘图。同一露头的密集点击不能仅因数量多而压过稀疏区域数据。若使用空间平衡采样或权重，必须说明理由。

可复现的方向分析还应保存投影半球、网型、极点或大圆表示、密度核、带宽、网格分辨率、置信方法和随机种子。自动分群结果必须回到地图检查空间连续性。若改变一两个低质量测量就使平均方向或褶皱轴显著变化，应报告敏感性，而不是只展示首选输出。

计算示例

8 条合成线理的合矢量长度 R=7.72，平均合矢量长度为


\bar R=\frac{7.72}{8}=0.965.

一个简单角度离散诊断量为


s=\sqrt{-2\ln\bar R}=0.267\ \text{rad}\approx15.3^\circ.

这表明总体较集中，但该数值不能自动称为 95% 置信锥。置信范围需要声明分布模型和样本量公式或重采样方法。若 8 个测量都来自一个小翼部，平均方向只描述该地点，不代表区域运移方向。

对层面极点进行特征分析得到一个较小和两个较大的特征值，符合环带特征；最小特征值对应方向给出候选褶皱轴。空间图显示西、东测站分别形成相差 18°的两个环带，双域模型比单一环带更好地保留枢纽弯曲。

误判与不确定性

不能对跨越正北的方位角直接算术平均；不能把无方向线当成有方向线；不能仅因都画成点就把面极点和线理混在同一统计中。

等密度结果取决于计数法、核宽度和样本分布。稀疏数据也能通过参数生成尖锐峰值，过宽参数会隐藏子域。必须报告参数并显示原始点。

两个真实点群的统计平均可能落在中间，代表一条并不存在的构造。汇总前应检验混合或分域模型。增加小数位不能弥补粗糙表面、北向不确定和露头偏差。

实践调查

收集或使用至少 30 个面产状和 15 条线理，把每条转换为矢量后再转换回原记法，完成往返校验。分别绘制等面积和等角投影，比较密度和角度显示。

先按地图域计算平均，再计算全局结果。有测站内重复点击时，应以测站而非单点为重采样单位。报告原始数量、有效空间覆盖、合矢量长度、不确定性方法以及轴向或地层朝向多解性，并保留每个图点到数据源的链接。

掌握检查

为什么走向和倾角必须附带方向约定？
何时优先使用等面积投影？
平均合矢量长度描述什么？
为什么轴向数据与有向矢量处理不同？
空间采样偏差如何制造误导性赤平投影？

资料与延伸阅读

球面离散统计，Fisher，1953。
球面上的对跖对称分布，Bingham，1974。
地质图符号标准，产状记法和地图符号。